أقصر مسافة من نقطة الأصل إلى المستوى 2x - y + 2z = 9 | بنك أسئلة فيزياء الجامعات الأردنية

سؤال 28 من 72boas • الفصل 4مستوى متقدممضروبات لاغرانج والقيم القصوى المقيدة

UJJUSTYUHU

باستخدام طريقة مضروبات لاغرانج (Boas Ch 4)، احسب أقصر مسافة من نقطة الأصل إلى المستوى

2x - y + 2z = 9

مراحل وخطوات البرهان الرياضي والحل:

الخطوة 1: صياغة دالة الهدف مربع المسافة والقيد الهندسيf & g

f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2, \quad g(x,y,z) = 2x - y + 2z - 9 = 0

الخطوة 2: تطبيق شرط لاغرانج للدرجاتx=\lambda, y=-\lambda/2, z=\lambda

\nabla f = \lambda \nabla g \implies (2x, 2y, 2z) = \lambda (2, -1, 2)

الخطوة 3: التعويض في معادلة المستوى لإيجاد مضاعف لاغرانج\lambda = 2

2(\lambda) - (-\lambda/2) + 2(\lambda) = 9 \implies \frac{9}{2}\lambda = 9 \implies \lambda = 2

الخطوة 4: حساب النقطة والمسافة الصغرىd = 3

(x,y,z) = (2, -1, 2) \implies d = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = 3